L’eleganza della fisica – Alessio Mangoni
SINTESI DEL LIBRO:
La matematica è la scienza per eccellenza che studia le quantità e i
numeri e si occupa di calcoli più o meno complessi. L'aritmetica è
quella branca della matematica che studia le proprietà elementari
delle operazioni.
La fisica fa largo uso della matematica per formulare teorie e modelli
per la descrizione dei fenomeni, come discuteremo nella seconda
parte di questo libro.
Inizialmente la matematica era usata come strumento per risolvere
problemi pratici quotidiani. Si aveva a che fare con numeri e con le
operazioni elementari tra loro, come l'addizione e la moltiplicazione.
D'altronde anche oggi capita di dover eseguire piccoli calcoli, ad
esempio, per cucinare o per organizzare la giornata.
Un calcolo pratico nell'antichità poteva essere quello di calcolare
l'area di un terreno, per conoscere lo spazio a disposizione per la
coltivazione o per riscuotere le tasse.
Ad esempio, se occorreva calcolare l'area di un campo lungo 3 metri
e largo 4 metri si poteva eseguire la semplice operazione di
moltiplicazione 3 x 4 = 12.
Inizialmente si cercava di eseguire i calcoli senza generalizzare
eventuali formule risolutive per mezzo di variabili, così da poterle
riutilizzare all'occorrenza.
L'aritmetica riguarda le quattro operazioni elementari: addizione,
sottrazione, moltiplicazione e divisione, applicate ai numeri. Esistono
diversi insiemi numerici, il primo insieme è quello dei numeri naturali
e i suoi infiniti elementi sono i seguenti
Osservando i numeri naturali ci si accorge che molti suoi elementi
possono essere scritti come prodotto di altri numeri naturali. Ad
esempio, il numero 10 può essere scritto come prodotto tra i numeri
2 e 5 oppure tra i numeri 1 e 10 stesso, infatti 2 x 5 = 1 x 10 = 10.
In questo caso diremo che il numero 10 è divisibile per 2 e per 5, che
a loro volta sono detti suoi divisori. Tutti i numeri naturali possono
essere espressi come prodotto di 1 e sé stessi, dunque ogni numero
naturale ammette come divisori 1 e sé stesso.
I numeri naturali che non ammettono altri divisori oltre a 1 e sé stessi
si dicono numeri primi (si osservi che il numero 1 non è un numero
primo). Un importante teorema, detto teorema fondamentale
dell'aritmetica, afferma che ogni numero naturale non primo può
essere scritto come prodotto di numeri primi. I numeri primi hanno un
ruolo fondamentale nella teoria dei numeri, esistono infatti molte
congetture che li coinvolgono. Grazie a un importante teorema
sappiamo che i numeri primi sono infiniti, anche se intuitivamente si
potrebbe pensare che considerando numeri sempre più grandi sia
più facile trovare un numero piccolo che sia un loro divisore. Una
famosa congettura, tuttora irrisolta, è quella relativa ai numeri primi
gemelli. Si definiscono gemelli due numeri primi che distano di due
unità , le prime coppie di numeri primi gemelli sono: (3;5), (5;7),
(11;13), (17;19), (29;31). La congettura afferma che i numeri primi
gemelli sono infiniti.
L'insieme dei numeri naturali è un insieme chiuso rispetto
all'addizione e alla moltiplicazione, questo significa che presi due
qualsiasi numeri naturali, allora anche la loro somma e il loro
prodotto saranno a loro volta numeri naturali. L'insieme dei numeri
naturali non è però chiuso, ad esempio, rispetto alla sottrazione.
Infatti se prendiamo i numeri 4 e 7, il risultato della differenza 3 - 7
non appartiene all'insieme dei numeri naturali.
Occorre dunque ampliare questo insieme, introducendo l'insieme dei
numeri interi, cioè
L'insieme dei numeri interi è chiuso rispetto alle operazioni di
addizione, moltiplicazione e sottrazione, ma non lo è rispetto alla
divisione. Si rende necessario introdurre un nuovo insieme più
ampio, cioè l'insieme dei numeri razionali, che comprende anche i
numeri ottenibile dal rapporto tra due numeri interi. In simboli
possiamo scrivere
dove p e q possono essere considerati primi fra loro senza perdita di
generalità .
Un tempo si pensava che ogni numero esistente fosse un numero
razionale, cioè potesse essere scritto come frazione di numeri interi
primi fra loro. In realtà non è così e per rendercene conto,
consideriamo la lunghezza d della diagonale di un quadrato di lato 1
che, per il teorema di Pitagora, vale
Si potrebbe pensare che questo numero sia un numero razionale e
possa quindi essere espresso come rapporto di due numeri interi,
ma non è così. Non esistono due interi tali che il loro rapporto faccia
radice di 2. Per dimostrarlo assumiamo, per assurdo, che esistano p,
e q interi, primi fra loro, tali che
eleviamo al quadrato ambo i membri
e scriviamo
da cui si evince che p2 è pari, essendo uguale al doppio di un
numero naturale. A sua volta anche p è pari, perché il quadrato di un
numero pari è pari e il quadrato di un numero dispari è dispari. Ma
se p è pari allora esiste un numero naturale k tale che p è il suo
doppio, cioè p = 2k. Sostituendo nella formula precedente otteniamo
da cui
e, infine,
Si evince che q2 è pari, essendo uguale al doppio di un numero
naturale. A sua volta anche q è pari, per quanto discusso prima.
Siamo giunti all'assurdo che p e q non sono primi fra loro, in quanto
entrambi pari e quindi divisibili per 2. Questo dimostra che il numero
radice quadrata di 2 non è un numero razionale.
SCARICA IL LIBRO NEI VARI FORMATI :
Commento all'articolo